コンテンツにスキップ

0454: 四元数

問題

四元数 \(q = a + bi + cj + dk\) を表すクラス Quaternion を実装してください。 四元数は乗法が可換でない斜体をなし、3D 回転の表現に使われます。

基底 \(i, j, k\) は次の関係を満たします。

\[ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \]

この関係から、積は次のように定まります。

\[ \begin{aligned} q_1 q_2 = {}& (a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2) \\ &+ (a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2)\,i \\ &+ (a_1 c_2 - b_1 d_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2)\,j \\ &+ (a_1 d_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2 + d_1 a_2)\,k \end{aligned} \]

Quaternion(a, b, c, d) は成分 \(a, b, c, d\) の四元数を表します。 次のメソッドを実装します。

  • __add__：四元数同士の成分ごとの和。
  • __mul__：上式による四元数同士の積。オペランドがスカラー（int または Fraction）の場合はスカラー倍。
  • __rmul__：2 * q のような左からのスカラー倍。
  • __abs__：ノルム \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\) を float で返します。
  • __eq__：4 成分がすべて等しいときに限り True を返します。
  • __repr__：eval() で再作成できる Quaternion(1, -2, 3, 0) の形式を返します。
  • conjugate()：共役 \(\bar{q} = a - bi - cj - dk\) を返します。
  • inverse()：乗法逆元 \(q^{-1} = \bar{q} / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)\) を返します。

積が非可換であること（i * j と j * i が異なること）を「例」で確認します。

制約

  • 成分は int または fractions.Fraction に限ります。それ以外の成分は TypeError を送出します（float は許しません）。
  • 分母が 1 の Fraction 成分は int に正規化し、repr の出力を安定させます。
  • スカラー倍のスカラーも int または Fraction に限ります。
  • 四元数と Quaternion 以外のオブジェクトとの + や == では NotImplemented を返します。
  • 零四元数の inverse() は、メッセージ zero quaternion has no inverse の ZeroDivisionError を送出します。

例

>>> from fractions import Fraction
>>> i = Quaternion(0, 1, 0, 0)
>>> j = Quaternion(0, 0, 1, 0)
>>> k = Quaternion(0, 0, 0, 1)
>>> i * i
Quaternion(-1, 0, 0, 0)
>>> i * j
Quaternion(0, 0, 0, 1)
>>> j * i
Quaternion(0, 0, 0, -1)
>>> i * j == j * i
False
>>> i * j == k
True
>>> q = Quaternion(1, 2, 3, 4)
>>> q + Quaternion(4, 3, 2, 1)
Quaternion(5, 5, 5, 5)
>>> 2 * q
Quaternion(2, 4, 6, 8)
>>> Fraction(1, 2) * q
Quaternion(Fraction(1, 2), 1, Fraction(3, 2), 2)
>>> q.conjugate()
Quaternion(1, -2, -3, -4)
>>> abs(Quaternion(1, 1, 1, 1))
2.0
>>> q.inverse()
Quaternion(Fraction(1, 30), Fraction(-1, 15), Fraction(-1, 10), Fraction(-2, 15))
>>> q * q.inverse()
Quaternion(1, 0, 0, 0)
>>> Quaternion(0, 0, 0, 0).inverse()
Traceback (most recent call last):
  ...
ZeroDivisionError: zero quaternion has no inverse

発展

  • __sub__ と単項の __neg__ を追加してください。
  • __truediv__ を q1 * q2.inverse() として定義してください。積が非可換なので、「右から割る」と「左から割る」が異なることを例で確認してください。
  • 単位四元数 \(q\) による回転 \(v \mapsto q v q^{-1}\) を実装し、\(q = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i)\) に相当する回転が \(y\) 軸を \(z\) 軸に写すことを確認してください（ノルムが無理数にならないよう、係数のかけ方を工夫します）。

参考

  • 『Python Distilled』第4章「数値プロトコル」
  • 『Python Distilled』第4章「プロトコルとデータの抽象化」
  • 四元数 - Wikipedia